Question

18．已知抛物线方程为y²=4x，直线l的方程为x-y+2=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d₁，P到l的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值为（　　）

• A． $2\sqrt{3}-2$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$+2

Answer 1

分析 点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x-y+2=0的垂线，此时d₁+d₂最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d₁+d₂的最小值．

解答 解：如图，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=-1于点C，
连接PF，根据抛物线的定义得PA+PC=PA+PF，
∵P到y轴的距离为d₁，P到直线l的距离为d₂，
∴d₁+d₂=PA+PB=（PA+PC）-1=（PA+PF）-1，
根据平面几何知识，可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值，
∵F（1，0）到直线l：x-y+2=0的距离为$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
∴PA+PF的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
由此可得d₁+d₂的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1
故选：B．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线距离公式的应用，正确运用抛物线的定义是关键．