Question

9．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，连接A₁C，BD．
（1）求三棱锥A₁-BCD的体积
（2）求证：BD⊥平面A₁AC．

Answer 1

分析 （1）以BCD为棱锥的底面，则AA₁为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算即可；
（2）连结AC，由底面正方形可知BD⊥AC，由AA₁⊥平面ABCD可知AA₁⊥BD，故而BD⊥平面A₁AC．

解答 解：（1）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁A⊥平面ABCD，
即A₁A是三棱锥A₁-BCD的高，
∵AA₁=BB₁=2，AB=BC=1，∴${S_{△BCD}}=\frac{1}{2}BC×CD=\frac{1}{2}$．
∴${V_{三棱锥{A_1}-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}×{A_1}A=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2=\frac{1}{3}$．
证明：（2）连结AC，
∵A₁A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴A₁A⊥BD．
又AB=BC，
∴矩形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵AC?平面A₁AC，A₁A?平面A₁AC，A₁A∩AC=A，
∴BD⊥平面A₁AC．

点评 本题考查了长方体的结构特征，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．