Question

17．如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD，
（1）证明：平面AEC⊥平面BED；
（2）若∠ABC=120°，AE⊥EC，S_△EAC=3，令AE与平面ABCD所成角为θ，且sinθ=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求该四棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由AC⊥BD，BE⊥AC，可得AC⊥平面BED，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面AEC⊥平面BED；
（2）利用AE⊥EC，S_△EAC=3，求出EB=$\sqrt{2}$，AB=2，即可求该四棱锥E-ABCD的体积．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，
∴AC⊥BD．
∵BE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BE⊥AC，
∵BE∩BD=B，
∴AC⊥平面BED，
∵AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面BED；
解：（2）由题意∠EAB=θ，
设EB=a，则AB=$\sqrt{2}$a，AE=$\sqrt{3}$a，
∴CE=$\sqrt{3}$a，
∵AE⊥EC，S_△EAC=3，
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{3}a×\sqrt{3}a$=3，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴EB=$\sqrt{2}$，AB=2，
∵∠ABC=120°，∴S_ABCD=$2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴四棱锥E-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．