Question

12．如图（1）所示，已知矩形ABCD，AB=2AD=2a，E是CD边的中点，以AE为棱，将△DAE向上折起，将D 折到D′的位置，使平面D′AE与平面ABCE成直二面角如图（2）所示．
（1）求直线D′B与平面ABCE所成的角的正切值；
（2）求四棱锥D′-ABCE的体积；
（3）求异面直线AD′与BC所成的角．

Answer 1

分析 （1）取AE中点O，连结OB，OD′，则OD′⊥AE，根据面面垂直的性质得出OD′⊥平面ABCE，故而∠D′BO为直线D′B与平面ABCE所成的角，计算OD′和OB，则tan∠D′BO=$\frac{D′O}{OB}$．
（2）OD′为四棱锥D′-ABCE的高，底面为直角梯形，代入体积公式计算即可；
（3）过F分别作AD′，BC的平行线FG，FE，则∠EFG为异面直线AD′与BC所成的角，利用勾股定理的逆定理证明AD′⊥BD′，结合AD′⊥D′E，AD′∥FG得出FG⊥平面BD′E，于是FG⊥EG，计算出FG，EF，利用三角函数定义计算cos∠GFE，得出∠EFG的大小．

解答 解；（1）取AE中点O，连结OB，OD′，
∵D′A=D′E，O是AE的中点，∴D′O⊥AE
∵D′-AE-B是直二面角，∴平面D′AE⊥平面ABCE．
又平面D′AE∩平面ABCE=AE，D′O?平面D′AE，
∴D′O⊥平面ABCE，
∴∠D′BO是直线D′B与平面ABCE所成的角．
∵D′A=D′E=a，D′O⊥AE，∠AD′E=90°，
∴AE=$\sqrt{2}a$，AO=D′O=$\frac{1}{2}AE$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，∠D′AE=∠BAO=45°．
∴在△AOB中，由余弦定理得OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}-2OA•AB•cos45°}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a．
∴tan∠D′BO=$\frac{D′O}{OB}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}a}{2}}{\frac{\sqrt{10}a}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）∵四边形ABCE是直角梯形，
∴S_ABCE=$\frac{1}{2}$（a+2a）•a=$\frac{3}{2}$a²．
又∵D′O 是四棱锥的高且D′O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴V_D′-ABCE=$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{2}$a²×$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a³．
（3）取AB的中点F，和D′B的中点G，并连结EF、EG、FG，
则EF∥BC，FG∥AD′，
∴∠GFE就是异面直线AD′与BC所成的角．
∵D′B=$\sqrt{D′{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，AD′=a，AB=2a，
∴AD′²+BD′²=AB²，∴AD′⊥BD′，
又AD′⊥D′E，BD′?平面BD′E，D′E?平面BD′E，BD′∩D′E=D′，
∴AD′⊥平面BD′E，
∴FG⊥平面BD′E，∵EG?平面BD′E，
∴FG⊥GE，即△EFG是直角三角形．
∵EF=BC=a，FG=$\frac{1}{2}$AD′=$\frac{1}{2}$a，
∴cos∠GFE=$\frac{FG}{EF}$=$\frac{1}{2}$，
∴异面直线AD′与BC所成的角为60°．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间角的作法与计算，棱锥的体积计算，属于中档题．