Question

4．如图，在边长为10（单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m．问正四棱锥的体积V（x）何时最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 用x表示出四棱锥的侧棱长和对角线长，计算出棱锥的高，得到V（x）的解析式，利用导数与极值的关系求出最大体积．

解答 解：棱锥的侧棱长为l=$\sqrt{{5}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{25+{x}^{2}}$，棱锥的底面对角线长为10-2x，显然0＜x＜5．
∴棱锥的高h=$\sqrt{{l}^{2}-（5-x）^{2}}$=$\sqrt{10x}$，棱锥的底面边长为$\frac{10-2x}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$（5-x）．
∴棱锥的体积V（x）=$\frac{1}{3}$×（$\sqrt{2}$（5-x））²×$\sqrt{10x}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}（5-x）^{2}\sqrt{x}$．
∴V′（x）=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$•[2（x-5）$\sqrt{x}$+（x-5）²•$\frac{\sqrt{x}}{2x}$]=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$•（x-5）•$\sqrt{x}$•$\frac{5x-5}{2x}$．
令V′（x）=0，得x=1，
当0＜x＜1时，V′（x）＞0，当1＜x＜5时，V′（x）＜0．
∴当x=1时，V（x）取得最大值，最大值为V（1）=$\frac{32\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题以折叠图形为依托，考查空间几何体的体积的求法，通过函数的对数求法函数的值的方法，考查空间想象能力与计算能力；解题中注意函数的定义域，导数的应用．