Question

13．直线l与抛物线y²=4x交于A，B两点，且OA⊥OB，其中O为坐标原点．
（1）直线l是否过定点？证明你的结论；
（2）若$|{AB}|=4\sqrt{10}$，求△AOB的外接圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设直线l：x=ty+m，代入抛物线y²=4x，利用韦达定理及向量数量积公式即可得到结论．
（2）根据弦长公式得到t=±1，再分别求出相对应的△AOB的外接圆的方程．

解答 解：（1）直线l过定点（4，0）．证明如下：
设直线l的方程为x=ty+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0
即$（{1+{t^2}}）{y_1}{y_2}+mt（{{y_1}+{y_2}}）+{m^2}=0$ ①
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x=ty+m\end{array}\right.∴{y^2}-4ty-4m=0$，
∴y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m ②
由 ①②得m²-4m=0，
∴m=4
故直线l过定点（4，0）．
 （2）由（1）知$|{AB}|=\sqrt{（{1+{t^2}}）[{{{（{{y_1}+{y_2}}）}^2}-4{y_1}{y_2}}]}=4\sqrt{（{1+{t^2}}）（{{t^2}+4}）}=4\sqrt{10}$，
∴t²=1，
①若t=1，则y₁+y₂=4，x₁+x₂=12，∴外接圆方程为（x-6）²+（y-2）²=40
②若t=-1，则y₁+y₂=-4，x₁+x₂=4，∴外接圆方程为（x-2）²+（y+2）²=8
故外接圆方程为（x-6）²+（y-2）²=40或（x-2）²+（y+2）²=8．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键，解题时要注意弦长公式的合理运用，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题