Question

8．某小组有A、B、C、D、E、F六位同学，其中A、B、C、D四位同学成绩较好，E、F两位同学成绩较弱．
（1）某次活动上，决定由两位成绩较好的同学和一位成绩较差的同学组队参加，则A和B不都去参加的概率；
（2）一次学习竞赛中，规定每小组先通过抽签方式将6人排序，并按顺序依次出场参赛，每次出场1人，解答一个问题，已知4位成绩较好的同学可以解答出任意一个题目，而成绩较弱的同学无法完整解答出每一个题目，一旦出现解答不完整情况，该组答题即停止，用X代表该组出场参赛的人数，求X的分布列和数学期望EX．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件总数n=${C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}$，A和B不都去参加的对立事件是A和B都去参加，由此利用对立事件概率计算公式能求出A和B不都去参加的概率．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）∵某小组有A、B、C、D、E、F六位同学，其中A、B、C、D四位同学成绩较好，E、F两位同学成绩较弱．
某次活动上，决定由两位成绩较好的同学和一位成绩较差的同学组队参加，
基本事件总数n=${C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}$=12，
A和B不都去参加的对立事件是A和B都去参加，
∴A和B不都去参加的概率P=1-$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}$=1-$\frac{2}{12}$=$\frac{5}{6}$．
（2）由已知得X的可能取值为1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=2）=$\frac{4}{6}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{15}$，
P（X=3）=$\frac{4}{6}×\frac{3}{5}×\frac{2}{4}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=4）=$\frac{4}{6}×\frac{3}{5}×\frac{2}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=5）=$\frac{4}{6}×\frac{3}{5}×\frac{2}{4}×\frac{1}{3}×\frac{2}{2}$=$\frac{1}{15}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$

E（X）=$1×\frac{1}{3}+2×\frac{4}{15}+3×\frac{1}{5}+4×\frac{2}{15}$+5×$\frac{1}{15}$=$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．