Question

14．已知x＞y＞0，求证：x+$\frac{1}{y}$＞y+$\frac{1}{x}$．

Answer 1

分析 方法一、运用作差比较法，因式分解即可得证；
方法二、运用不等式的性质：可加性，即可得证．

解答 证法一：由x＞y＞0，可得x-y＞0，
x+$\frac{1}{y}$-（y+$\frac{1}{x}$）=（x-y）+（$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{x}$）
=（x-y）+$\frac{x-y}{xy}$=（x-y）（1+$\frac{1}{xy}$）＞0，
则x+$\frac{1}{y}$＞y+$\frac{1}{x}$．
证法二、由x＞y＞0，可得$\frac{1}{x}$＜$\frac{1}{y}$，
即为$\frac{1}{y}$＞$\frac{1}{x}$＞0，
由不等式的可加性可得x+$\frac{1}{y}$＞y+$\frac{1}{x}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差法和不等式的性质：可加性，考查运算和推理能力，属于基础题．