Question

2．（文）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求证：AC⊥平面BDEF．
（2）求证：FC∥平面EAD．
（3）设AD=1，求V_E-BCD．

Answer 1

分析 （1）设AC，BD交于点O，连结OF，由三线合一可得FO⊥AC，由菱形性质得AC⊥BD，故而AC⊥平面BDEF；
（2）取AE，AF的中点M，N，连结DM，MN，ON，可证四边形ODMN是平行四边形，故而ON∥DM，又由中位线得力得FC∥ON，于是FC∥DM，从而FC∥平面EAD；
（3）由题意可得△ABD，△BDF，△BCD是边长为1的等边三角形，于是FO⊥BD，又FO⊥AC，得出FO⊥平面ABCD，于是V_E-BCD=V_F-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•FO$．

解答 证明：（1）连结DF，设AC∩BD=O，连结OF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，O是AC，BD的中点，
∵FA=FC，
∴FO⊥AC，
又∵DB?平面BDEF，FO?平面BDEF，DB∩FO=O，
∴AC⊥平面BDEF．
（2）取AE，AF的中点M，N，连结DM，MN，ON，
∵MN是△AEF的中位线，
∴MN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}EF$，
∵四边形BDEF是菱形，O是BD的中点，
∴OD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}EF$，
∴四边形ODMN是平行四边形，
∴ON∥DM，
∵ON是△AFC的中位线，
∴ON∥FC，
FC∥DM，又DM?平面EAD，FC?平面EAD，
∴FC∥平面EAD．
解：（3）∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AD=1，
∴△ABD，△BDF，△BCD是边长为1的等边三角形，
∴FO⊥BD，FO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，S_△BCD=$\frac{1}{2}×1×1×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
又FO⊥AC，BD?平面ABCD，AC?平面ABCD，AC∩BD=O，
∴FO⊥平面ABCD．
∴V_E-BCD=V_F-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•FO$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．