Question

16．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为（0，10），五个级别规定如下：

交通指数	（0，2）	[2，4）	[4，6）	[6，8）	[8，10）
级别	畅通	基本畅通	轻度拥堵	中度拥堵	严重拥堵

某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的40个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）的交通指数（平均值），其统计结果如直方图所示．
（Ⅰ）据此估计此人260个工作日中早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数；
（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似为：畅通时30分钟，基本畅通时35分钟，轻度拥堵时40分钟，中度拥堵时50分钟，严重拥堵时70分钟，以直方图中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间X的数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25，据此能估计此人260个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数．
（Ⅱ）由题意可知X 的可能取值为30，35，40，50，70．分别求出相应的概率，由此能求出此人上班路上所用时间X的数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25，
据此估计此人260个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数为 260×0.25=65天．…5分
（Ⅱ）由题意可知X 的可能取值为30，35，40，50，70．
且P（X=30）=0.05，
P（X=35）=0.10，
P（X=40）=0.45，
P（X=50）=0.25，
P（X=70）=0.15，
∴X的分布列为：

X	30	35	40	50	70
P	0.05	0.10	0.45	0.25	0.15

∴EX=30×0.05+35×0.1+40×0.45+50×0.25+70×0.15=46． …13分

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．