Question

1．已知0＜x＜$\frac{1}{y}$，求证：y-y²＜$\frac{1}{x+1}$．

Answer 1

分析 由y＞0，且1-y²＜1，运用平方差公式，可得y-y²＜$\frac{1}{\frac{1}{y}+1}$，又$\frac{1}{\frac{1}{y}+1}$＜$\frac{1}{x+1}$，即可得证．

解答 证明：由0＜x＜$\frac{1}{y}$，可得y＞0，
且1-y²＜1，
可得（y-y²）•$\frac{1+y}{y}$=y（1-y）•$\frac{1+y}{y}$=1-y²＜1，
即有y-y²＜$\frac{1}{\frac{1+y}{y}}$=$\frac{1}{\frac{1}{y}+1}$，
又$\frac{1}{y}$＞x，可得
$\frac{1}{\frac{1}{y}+1}$＜$\frac{1}{x+1}$，
由不等式的传递性，可得
y-y²＜$\frac{1}{x+1}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用不等式的性质，主要是传递性，考查运算和推理能力，属于中档题．