Question

抛物线y²=4x与直线y=x-1相交于A，B两点，则|AB|的值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线的焦点，可得直线AB恰好经过抛物线的焦点F（1，0），再由抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2，最后由直线AB与抛物线消去y得关于x的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，可得x₁+x₂=6，从而得到AB的长为8．

解答： 解：∵抛物线方程为y²=4x，
∴2p=4，

p

2

=1，可得焦点为F（1，0）
∵直线y=x-1交x轴于点（1，0）
∴直线AB经过抛物线的焦点F
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据抛物线的定义可得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
所以|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2，
由抛物线y²=4x与直线y=x-1消去y，得x²-6x+1=0
∴根据韦达定理，得x₁+x₂=6
因此，|AB|=|x₁+x₂+2=8，
故答案为：8

点评：本题给出抛物线的一条焦点弦所在的直线方程方程，求该焦点弦的长度，着重考查了抛物线的简单性质和直线与抛物线的关系等知识点，属于中档题．