Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=(m+1)－ma_n 对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜－1.
(1)求证:{a_n}是等比数列；
(2)设数列{a_n}的公比q=f(m)，数列{b_n}满足:b₁=a₁,b_n=f(b_n－1)(n≥2,n∈N^*). 试问当m为何值时，成立？

Answer 1

(1) 证明略，(2)

(1）由已知S_n+1=(m+1)－ma_n+1　①，　　S_n=(m+1)－ma_n②,
由①－②，得a_n+1=ma_n－ma_n+1，即(m+1)a_n+1=ma_n对任意正整数n都成立.
∵m为常数，且m＜－1
∴，即{}为等比数列.
(2)当n=1时，a₁=m+1－ma₁，∴a₁=1，从而b₁= 
由(1)知q=f(m)=，∴b_n=f(b_n－1)= (n∈N^*,且n≥2)
∴，即，
∴{}为等差数列。 ∴=3+(n－1)=n+2，
(n∈N^*).

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