Question

11．（1）已知在数列{a_n}中，a₁=7，a₂=9，前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），试求整列{a_n}的通项公式．
（2）设数列{a_n}的前n项和S_n，已知ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n．当b=2时，试证明数列{a_n-n•2^n-1}是等比数列．

Answer 1

分析 （1）由递推公式得到a_n-a_n-1=2^n-1，再由累加法求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由已知利用a_n=S_n+1-S_n，即可证明{a_n-n•2^n-1}是首项为1，公比为2的等比数列．

解答 解：（1）S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），
∴（S_n+S_n-1）-（S_n-1+S_n-2）=2^n-1（n≥3），
∴a_n-a_n-1=2^n-1，
∴a₃-a₂=2²，
a₄-a₃=2³，
…
∵a₁=7，a₂=9，
∴a₂-a₁=9-7=2，
累加得到a_n-a₁=2+2²+2³+…+2^n-1=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=2ⁿ-2，
∴a_n=2ⁿ+5，
当n=1时，a₁=7成立，
∴a_n=2ⁿ+5；
（2）由题意知a₁=2，且ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，ba_n+1-2ⁿ⁺¹=（b-1）S_n+1．
两式相减得b（a_n+1-a_n）-2ⁿ=（b-1）a_n+1，
即a_n+1=ba_n+2ⁿ．
当b=2时，知a_n+1=2a_n+2ⁿ．
∴a_n+1-（n+1）•2ⁿ=2a_n+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ=2（a_n-n•2^n-1），
又a₁-1×2¹-1=2-1=1≠0，
∴{a_n-n•2^n-1}是首项为1，公比为2的等比数列．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．