Question

1．（理）已知${（{x+1}）^{10}}={a_1}+{a_2}x+{a_3}{x^2}+…+{a_{11}}{x^{10}}$．若数列a₁，a₂，a₃，…，a_k（1≤k≤11，k∈Z）是一个单调递增数列，则k的最大值是6．

Answer 1

分析 根据二项式定理可得a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅＜a₆＞a₇，且数列a₁，a₂，a₃，…，a_k是一个单调递增数列，可得k的最大值是6．

解答 解：由二项式定理，得${a_1}=C_{10}^{10}，{a_2}=C_{10}^9，{a_3}=C_{10}^8，{a_4}=C_{10}^7，{a_5}=C_{10}^6，{a_6}=C_{10}^5$，
${a_7}=C_{10}^4$，…，${a_{10}}=C_{10}^1，{a_{11}}=C_{10}^0$，
因为a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅＜a₆＞a₇，且数列a₁，a₂，a₃，…，a_k是一个单调递增数列，
所以k的最大值是6，
故答案为：6．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属基础题．