Question

6．若函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0），满足f（0）=f（$\frac{π}{3}$），且函数在[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一个零点，则f（x）的最小正周期为（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． π
• C． $\frac{3π}{2}$
• D． 2π

Answer 1

分析 根据f（0）=f（$\frac{π}{3}$），得出函数f（x）的一条对称轴x=$\frac{π}{6}$；再根据题意得出$\frac{π}{6}$-0≤$\frac{T}{4}$≤$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$，结合题目中的选项求出f（x）的最小正周期．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0），满足f（0）=f（$\frac{π}{3}$），
∴x=$\frac{0+\frac{π}{3}}{2}$=$\frac{π}{6}$是函数f（x）的一条对称轴；
又函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一个零点，
∴$\frac{π}{6}$-0≤$\frac{T}{4}$≤$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$，
即$\frac{2π}{3}$≤T≤$\frac{4π}{3}$，
结合题目中的选项，得：
f（x）的最小正周期为T=π．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数的零点、对称轴与周期的应用问题，是基础题目．