Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（a-c，b+c），$\overrightarrow{n}$=（b-c，a），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求B；
（2）若b=$\sqrt{13}$，cos（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{39}}{26}$，求a．

Answer 1

分析 （1）根据向量的平行和余弦定理即可求出B；
（2）根据同角的三角函数的关系以及两角和差的正弦公式和正弦定理即可求出．

解答 解：（1）因为$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，所以a²+c²-b²=ac，（2分）
因为cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，（4分）
因为B∈（0，π）（5分）
所以B=$\frac{π}{3}$．（6分）
（2）因为A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），（7分）
cos（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{39}}{26}$，所以sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{5\sqrt{13}}{26}$，（9分）
所以sinA=sin[（A+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=$\frac{\sqrt{39}}{26}$，（11分）
在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，（13分）
解得a=1．（14分）

点评 本题考查三角函数的恒等变形，本题解题的关键是利用向量之间的关系写出三角函数之间的关系，注意正弦定理，余弦定理的应用．