Question

3．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x-2，则（　　）

• A． f（sin$\frac{1}{2}$）＜f（cos$\frac{1}{2}$）
• B． f（sin$\frac{π}{3}$）＞f（cos$\frac{π}{3}$）
• C． f（sin1）＜f（cos1）
• D． f（sin$\frac{π}{2}$）＞f（cos$\frac{π}{2}$）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和周期性的关系，结合函数单调性的性质进行比较即可．

解答 解：∵f（x）=f（x+2），
∴函数f（x）的周期是2，
∵当x∈[3，4]时，f（x）=x-2为增函数，
∴当x∈[-1，0]时，f（x）为增函数，
∵f（x）是偶函数，
∴当x∈[0，1]时，f（x）为减函数，
A．∵0＜$\frac{1}{2}$＜$\frac{π}{4}$，∴sin$\frac{1}{2}$＜cos$\frac{1}{2}$，则f（sin$\frac{1}{2}$）＞f（cos$\frac{1}{2}$），故A错误，
B．sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，则f（sin$\frac{π}{3}$）＜f（cos$\frac{π}{3}$），故B错误，
C.$\frac{π}{4}$＜1＜$\frac{π}{2}$，则f（sin1）＜f（cos1）成立，故C正确，
D．sin$\frac{π}{2}$=1＞cos$\frac{π}{2}$=0，则f（sin$\frac{π}{2}$）＜f（cos$\frac{π}{2}$），故D错误，
故选：C．

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数函数是周期性和单调性，利用函数周期性，周期性和单调性之间的关系是解决本题的关键．