Question

15．如图所示，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，AA₁=2，D是AC的中点，AB⊥平面B₁C₁CB，∠BCC₁=60°．
（1）求证：AC⊥平面BDC₁；
（2）求二面角B₁-BC₁-A₁的大小．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面BDC₁；
（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 解：（1）∵AB=BC=1，D是AC的中点，
∴BD⊥AC，
∵∠BCC₁=60°，
∴BC₁=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
满足BC²+BC₁²=C₁C²，
则△BCC₁是直角三角形，
则BC₁⊥BC，
∵AB⊥平面B₁C₁CB，
∴AB⊥BC₁，
∴BC₁⊥平面ABC，
BC₁⊥AC，
∵BC₁∩BD=B，
∴AC⊥平面BDC₁；
（2）∵AB⊥平面B₁C₁CB，
∴AB⊥BC，
则建立以B为坐标原点，BC，BA，BC₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则平面B₁BC₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
C（1，0，0），C₁（0，0，$\sqrt{3}$），B₁（-1，0，$\sqrt{3}$），A（0，1，0），A₁（-1，1，$\sqrt{3}$），
则$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$（-1，1，$\sqrt{3}$），
设平面BC₁A₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-x+y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$．
即$\left\{\begin{array}{l}{z=0}\\{y=x}\end{array}\right.$，设x=1，则y=1，
则$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=45°，
即二面角B₁-BC₁-A₁的大小为45°．

点评 本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．