Question

10．二项式${（{\frac{x}{{\sqrt{2}}}-y}）^8}$的展开式中，x⁴y⁴与x²y⁶项的系数之和是$\frac{63}{2}$（用数字作答）．

Answer 1

分析 写出二项式的通项公式，利用幂指数求解x⁴y⁴与x²y⁶项的系数之和．

解答 解：${（\frac{x}{{\sqrt{2}}}-y）^8}$的展开式的通项为${T_{r+1}}=C_8^r{（\frac{x}{{\sqrt{2}}}）^{8-r}}{（-y）^r}=\frac{{{{（-1）}^r}}}{{{{（\sqrt{2}）}^{8-r}}}}C_8^r{x^{8-r}}{y^r}$
当r=4时，可得x⁴y⁴的系数为$\frac{{{{（-1）}^4}}}{{{{（\sqrt{2}）}^{8-4}}}}C_8^4=\frac{35}{2}$；
当r=6时，可得x²y⁶的系数为$\frac{{{{（-1）}^6}}}{{{{（\sqrt{2}）}^{8-6}}}}C_8^6=14$；
所以x⁴y⁴与x²y⁶的系数之和是$\frac{35}{2}+14=\frac{63}{2}$．
故答案为：$\frac{63}{2}$．

点评 本题考查二项式定理的应用，系数的性质的求法，考查计算能力．