Question

10．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为1，体积为2，E为AB的中点，证明：A₁E与C₁B是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

分析 根据异面直线所成角的定义作出平行直线，转化为平面角进行求解即可．

解答 解：根据已知条件，C₁C为正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高
底面四边形A₁ABB₁是正方形，且面积为1，
故由V=Sh=2，可得C₁C=2．
假设A₁E与C₁B不是异面直线，则它们在同一平面内，
 由于点A₁、E、B在平面A₁ABB₁内，则点C₁也在平面A₁ABB₁内，这是不可能的，
故A₁E与C₁B是异面直线．
取A₁B₁的中点为F，连接BF，BC₁，
所以BF∥A₁E，则∠EBC₁或其补角，即为异面直线A₁E与C₁B所成的角．
在△BFC₁，BC₁=$\sqrt{5}$，BF=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，FC₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
由余弦定理得cos∠FBC₁=$\frac{5+\frac{17}{4}-\frac{5}{4}}{2\sqrt{5}×\frac{\sqrt{17}}{2}}$=$\frac{8\sqrt{85}}{85}$＞0，
即∠FBC₁=arccos$\frac{8\sqrt{85}}{85}$，
所以异面直线A₁E与C₁B所成的角的大小为arccos$\frac{8\sqrt{85}}{85}$，

点评 本题主要考查异面直线所成角的求解，根据定义作出平行直线转化为平面角结合余弦定理是解决本题的关键．