Question

2．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_2k=a_2k-1+（-1）^k，a_2k+1=a_2k+2^k（k∈N^*），则{a_n}的前60项的和S₆₀=（　　）

• A． 2³¹-154
• B． 2³¹-124
• C． 2³²-94
• D． 2³²-124

Answer 1

分析 由条件可得a_2k+1-a_2k-1=2^k+（-1）^k，将k换为k-1，k-2，…，1，累加可得a_2k+1=2^k+1+$\frac{1}{2}$（-1）^k-$\frac{3}{2}$，求得{a_n}的通项公式，讨论n为奇数和偶数的情况，再由分组求和，结合等比数列的求和公式计算即可得到所求和．

解答 解：a_2k+1=a_2k+2^k=a_2k-1+（-1）^k+2^k，
所以a_2k+1-a_2k-1=2^k+（-1）^k，
同理a_2k-1-a_2k-3=2^k-1+（-1）^k-1，
…
a₃-a₁=2+（-1），
所以（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）+…+（a₃-a₁）
=（2^k+2^k-1+…+2）+[（-1）^k+（-1）^k-1+…+（-1）]，
由此得a_2k+1-a₁=2（2^k-1）+$\frac{1}{2}$[（-1）^k-1]，
于是a_2k+1=2^k+1+$\frac{1}{2}$（-1）^k-$\frac{3}{2}$，
a_2k=a_2k-1+（-1）^k=2^k+$\frac{1}{2}$（-1）^k-1-$\frac{3}{2}$+（-1）^k=2^k+$\frac{1}{2}$（-1）^k-$\frac{3}{2}$，
{a_n}的通项公式为：
当n为奇数时，a_n=2${\;}^{\frac{n+1}{2}}$+$\frac{1}{2}$（-1）${\;}^{\frac{n-1}{2}}$-$\frac{3}{2}$；
当n为偶数时，a_n=2${\;}^{\frac{n}{2}}$+$\frac{1}{2}$（-1）${\;}^{\frac{n}{2}}$-$\frac{3}{2}$；
则S₆₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₅₉）+（a₂+a₄+a₆+..+a₆₀）
=[（2+2²+2³+…+2³⁰）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+…-$\frac{1}{2}$）-$\frac{3}{2}$×30]
+[（2+2²+2³+…+2³⁰）+（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2}$）-$\frac{3}{2}$×30]
=2×$\frac{2（1-{2}^{30}）}{1-2}$+0-90=2³²-94．
故选：C．

点评 本题考查数列的求和方法：注意运用分组求和，考查分段数列的通项公式的求法，注意运用等比数列的求和公式，考查化简整理的运算能力，有一定的难度．