Question

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+b²-c²）
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sin²A+sin²B的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形的面积公式化简已知等式的左边，利用余弦定理表示出cosC，变形后代入等式的右边，利用同角三角函数间的基本关系弦化切整理后求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）由C的度数，利用三角形的内角和定理表示出A+B的度数，用A表示出B，代入所求的式子中，利用降幂公式，两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即可得到所求式子的范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+b²-c²），
∴可得：$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•2abcosC，
∴tanC=$\sqrt{3}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$．…5分
（Ⅱ）sin²A+sin²B=-$\frac{1}{2}$[cos2A+cos2B]+1
=-$\frac{1}{2}$[cos2A+cos（2π-2A-2C）]+1
=-$\frac{1}{2}$[cos2A+cos（$\frac{2π}{3}$+2A）]+1
=-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$cos2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A）+1
=$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+1，…8分
∵C=$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，…10分
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{3}{4}$＜sin²A+sin²B≤$\frac{3}{2}$．…12分

点评 此题考查了三角形的面积公式，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于中档题．