Question

9．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+1\end{array}\right.$（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}cos（{θ-\frac{π}{4}}）$．
（1）设点P的极坐标为$（4，\frac{π}{3}）$，求点P到直线l的距离；
（2）直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的中点到点M（0，1）的距离．

Answer 1

分析 （1）先求出直线l的普通方程和点P的直角坐标，由此利用点到直线的距离公式能求出点P到直线l的距离．
（2）求出曲线C的直角坐标方程，与直线l联立，得4x²-2x-1=0，由韦达定理求出AB的中点坐标，由此利用两点间距离公式能求出AB的中点到点M（0，1）的距离．

解答 解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+1\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线l的普通方程为y=$\sqrt{3}x$+1，
∵点P的极坐标为$（4，\frac{π}{3}）$，∴点P的直角坐标为P（2，2$\sqrt{3}$），
∴点P到直线l的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+1|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵曲线C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}cos（{θ-\frac{π}{4}}）$=2cosθ+2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+1}\\{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}=2}\end{array}\right.$，得4x²-2x-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{1}{2}$，y₁+y₂=$\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）+2$=$\frac{\sqrt{3}}{2}+2$，
∴AB的中点Q（$\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}+1$），
∴AB的中点到点M（0，1）的距离|MQ|=$\sqrt{（\frac{1}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查点到直线的距离和线段中间到点的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、极坐标方程和直角坐标方程间的相互转化的合理运用．