Question

1．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₃+a₅=a₄+8．
（Ⅰ）求S₇的值；
（Ⅱ）若a₁=2且a₃，a_k+1，S_k成等比数列，求正整数k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在等差数列{a_n}，有a₃+a₅=a₄+8．可得2a₄=a₄+8，因此S₇=$\frac{7（{a}_{1}+{a}_{7}）}{2}$=7a₄．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a₄=8，a₁=2，可得a_n，S_n．由于a₃，a_k+1，S_k成等比数列，可得$a_{k+1}^2={a_3}{S_k}$，代入解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵在等差数列{a_n}，有a₃+a₅=a₄+8．
∴2a₄=a₄+8，
∴a₄=8，
∴S₇=$\frac{7（{a}_{1}+{a}_{7}）}{2}$=7a₄=56．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a₄=8，a₁=2，
∴2+3d=8，解得公差d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
∴S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n．
∵a₃，a_k+1，S_k成等比数列，
∴$a_{k+1}^2={a_3}{S_k}$，即（2k+2）²=6（k²+k），
整理得k²-k-2=0，k∈N^*．
解得k=-1（舍去）或k=2．
故k=2．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．