Question

6．若函数f（x）=2sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x₁）-g（x₂）|=4的x₁、x₂，有|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{6}$，则φ=（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 利用三角函数的最值，求出自变量x₁，x₂的值，然后判断选项即可得解．

解答 解：因为将函数f（x）=2sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x₁）-g（x₂）|=4的可知，两个函数的最大值与最小值的差为4，有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{6}$，
不妨x₁=$\frac{π}{4}$，x₂=$\frac{π}{12}$，即g（x）在x₂=$\frac{π}{12}$，取得最小值，sin（2×$\frac{π}{12}$-2φ）=-1，
此时φ=$\frac{π}{3}$-kπ，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=$\frac{π}{3}$，满足题意．
x₁=$\frac{π}{4}$，x₂=$\frac{5π}{12}$，即g（x）在x₂=$\frac{5π}{12}$，取得最小值，sin（2×$\frac{5π}{12}$-2φ）=-1，
此时φ=$\frac{2π}{3}$-kπ，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=$\frac{2π}{3}$，满足题意．
故选：C．

点评 本题主要考查了三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答，属于中档题．