Question

14．定义在R上的函数f（x）=$\frac{xsin2x}{{x}^{2}+a}$的图象如图所示，则实数a的可能值为（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由题意可知，当x＞0时存在x使$\frac{xsin2x}{{x}^{2}+a}$=1成立，根据三角形函数的图象和性质即可基本不等式求出a＜$\frac{1}{4}$，即可判断选项．

解答 解：由图象可知，当x＞0时存在x使$\frac{xsin2x}{{x}^{2}+a}$=1成立，
∴xsin2x=x²+a，
∴sin2x=x+$\frac{a}{x}$，
∵-1≤sin2x≤1，
∴-1≤x+$\frac{a}{x}$≤1，
∵x+$\frac{a}{x}$≥$2\sqrt{x•\frac{a}{x}}$=2$\sqrt{a}$，当且仅当x=$\sqrt{a}$时取等号，
∴2$\sqrt{a}$＜1，
∴a＜$\frac{1}{4}$，
故选：A．

点评 本题考查了函数图象和性质以及基本不等式的应用，属于中档题．