Question

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{A}{2}$，bcosC=3ccosB，则$\frac{b}{c}$=$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$．

Answer 1

分析 使用降次公式化简得出A，利用余弦定理将角化边整理得出a，b，c的关系，再次使用余弦定理消去a，得到关于b，c的方程，解出$\frac{b}{c}$．

解答 解：∵sinA=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cosA，
∴（$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cosA）²+cos²A=1，
解得cosA=-$\frac{1}{2}$或cosA=-1（舍）．
∴A=$\frac{2π}{3}$．
∵bcosC=3ccosB，
∴b×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=3c×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，即a²=2b²-2c²．
又∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∴b²+c²-a²+bc=0，
∴3c²-b²+bc=0，即-（$\frac{b}{c}$）²+$\frac{b}{c}$+3=0，
解得$\frac{b}{c}$=$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，余弦定理，一元二次方程的解法，属于中档题．