已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1的两个焦点分别为F1.F2.过F1的直线交椭圆C于A.B两点.若|AF2|+|BF2|的最大值为10.则n的值为12．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF₂|+|BF₂|的最大值为10，则n的值为12．

分析由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF₂|+|AF₂|=16-|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值$\frac{n}{2}$，代入|BF₂|+|AF₂|=16-|AB|，由|BF₂|+|AF₂|的最大值等于10，列式求n的值．

解答解：由0＜n＜16可知，焦点在x轴上，
由过F₁的直线l交椭圆于A，B两点，
由椭圆的定义可得|BF₂|+|AF₂|+|BF₁|+|AF₁|=2a+2a=4a=16，
即有|BF₂|+|AF₂|=16-|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF₂|+|AF₂|值最大，
此时|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{2n}{4}$=$\frac{n}{2}$，
即为10=16-$\frac{n}{2}$，
解得n=12．
故答案为：12．

点评本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，解答此题的关键是明确过椭圆焦点的弦中通径的长最短，是中档题．

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