Question

12．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜-1或$x＞\frac{1}{3}\}$，则f（e^x）＞0的解集为（　　）

• A． {x|x＜-1或x＞-ln3}
• B． {x|-1＜x＜-ln3}
• C． {x|x＞-ln3}
• D． {x|x＜-ln3}

Answer 1

分析 根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出f（x）的解析式；
再利用解析式把不等式f（e^x）＞0转化，求出它的解集即可．

解答 解：∵一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜-1或x＞$\frac{1}{3}$}，
∴-1和$\frac{1}{3}$是方程x²+ax+b=0的两个实数根，
∴a=-（-1+$\frac{1}{3}$）=$\frac{2}{3}$，
b=-1×$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$，
∴f（x）=-（x²+$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{3}$）=-x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$；
∴不等式f（e^x）＞0可化为
e^2x+$\frac{2}{3}$e^x-$\frac{1}{3}$＜0，
解得-1＜e^x＜$\frac{1}{3}$，
即x＜ln$\frac{1}{3}$，
∴x＜-ln3，
即f（e^x）＞0的解集为{x|x＜-ln3}．
故选：D．

点评 本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，考查了指数与对数的应用问题，是综合题目．