Question

7．已知函数$f（x）=sinxcosx+{sin^2}x-\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）若$α∈（0，\;\frac{π}{2}）$，且$f（α）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性、最值，得出结论．
（Ⅱ）由条件求得sin（2α-$\frac{π}{4}$）=1，再根据2α-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）；可得2α-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，从而求得α的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数$f（x）=sinxcosx+{sin^2}x-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，函数的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅱ）若$α∈（0，\;\frac{π}{2}）$，2α-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）；∵$f（α）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$），
∴sin（2α-$\frac{π}{4}$）=1，∴2α-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，∴α=$\frac{3π}{8}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、最值，根据三角函数的值求角，属于基础题．