Question

20．在等比数列{a_n}中，a₇是a₈，a₉的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，$\overrightarrow{OA}=（1，1）$，$\overrightarrow{OB}=（2，q）$，∠A为锐角，则公比q等于-2．

Answer 1

分析 利用等比数列{a_n}中，a₇是a₈，a₉的等差中项，求出q=1或q=-2，根据：△OAB（O为原点）中，$\overrightarrow{OA}=（1，1）$，$\overrightarrow{OB}=（2，q）$，∠A为锐角，确定q的值．

解答 解：∵等比数列{a_n}中，a₇是a₈，a₉的等差中项，
∴2a₇=a₈+a₉，
∴2=q+q²，
∴q=1或q=-2，
∵△OAB（O为原点）中，$\overrightarrow{OA}=（1，1）$，$\overrightarrow{OB}=（2，q）$，
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，q-1），
∵∠A为锐角，
∴-1×1-q+1＞0，
∴q=-2，
故答案为：-2．

点评 本题考查等差数列的性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，比较基础．