Question

13．设${z_1}，{z_2}∈C，z_1^2-2{z_1}{z_2}+4z_2^2=0，|{z_2}|=2$，那么以|z₁|为直径的圆的面积为（　　）

• A． π
• B． 4π
• C． 8π
• D． 16π

Answer 1

分析 由已知可得：$（\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}）^{2}-2\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$+4=0，解得$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=$1±\sqrt{3}$i，即可得出．

解答 解：∵${z_1}，{z_2}∈C，z_1^2-2{z_1}{z_2}+4z_2^2=0，|{z_2}|=2$，
∴$（\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}）^{2}-2\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$+4=0，
解得$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=$\frac{2±2\sqrt{3}i}{2}$=$1±\sqrt{3}$i，
∴|z₁|=|z₂||1$±\sqrt{3}$i|=4，
∴以|z₁|为直径的圆的面积为2²π=4π．
故选：B．

点评 本题考查了实系数一元二次方程的解法、复数的几何意义、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．