Question

3．在等腰直角△ABC中，AB=AC=$\sqrt{2}$，D、E是线段BC上的点，且DE=$\frac{1}{3}$BC，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$的取值范围是[$\frac{8}{9}，\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 可作出图形，分别以AC，AB为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件即可设$D（x，\sqrt{2}-x），E（x+\frac{\sqrt{2}}{3}，\frac{2\sqrt{2}}{3}-x）$，并且可求得$0≤x≤\frac{2\sqrt{2}}{3}$，从而进行数量积的坐标运算便可求出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}=2{x}^{2}-\frac{4\sqrt{2}}{3}x+\frac{4}{3}$，配方，根据x的范围即可求出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$的最大值和最小值，即得出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$的取值范围．

解答 解：如图，

分别以AC，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系；
∵$DE=\frac{1}{3}BC$，设$D（x，\sqrt{2}-x）$，$0≤x≤\frac{2\sqrt{2}}{3}$，则$E（x+\frac{\sqrt{2}}{3}，\frac{2\sqrt{2}}{3}-x）$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}=（x，\sqrt{2}-x）•（x+\frac{\sqrt{2}}{3}，\frac{2\sqrt{2}}{3}-x）$
=${x}^{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}x+\frac{4}{3}-\sqrt{2}x-\frac{2\sqrt{2}}{3}x+{x}^{2}$
=$2{x}^{2}-\frac{4\sqrt{2}}{3}x+\frac{4}{3}$
=$2（x-\frac{\sqrt{2}}{3}）^{2}+\frac{8}{9}$；
∴$x=\frac{\sqrt{2}}{3}$时，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$取最小值$\frac{8}{9}$，x=0或$\frac{2\sqrt{2}}{3}$时，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$取最大值$\frac{4}{3}$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$的取值范围是$[\frac{8}{9}，\frac{4}{3}]$．
故答案为：$[\frac{8}{9}，\frac{4}{3}]$．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，根据条件能设平面上点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算，配方求二次函数的最值．