Question

18．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=2B，求$\frac{a}{b}$的取值范围．

Answer 1

分析 A=2B，利用正弦定理可得：$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$=2cosB，由$\frac{π}{2}$＜A+B=3B＜π，$0＜A，B＜\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{4}$，即可得出．

解答 解：在锐角三角形ABC中，∵A=2B，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{2sinBcosB}{sinB}$=2cosB，
∵$\frac{π}{2}$＜A+B=3B＜π，$0＜A，B＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosB＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{a}{b}$∈$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．

点评 本题考查了正弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．