Question

13．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，则$\sum_{n=1}^{2016}$f（$\frac{nπ}{6}$）=（　　）

• A． -1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 根据函数f（x）的部分图象，求出周期T、ω以及φ的值，再求$\sum_{n=1}^{2016}$f（$\frac{nπ}{6}$）的值．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{1}{4}$T=$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{4}$π，
∴T=π，
∴ω=2；
又函数f（x）的图象经过点（$\frac{π}{6}$，1），
∴sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=1，解得φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
∴$\sum_{n=1}^{2016}$f（$\frac{nπ}{6}$）=sin（$\frac{2π}{6}$+$\frac{π}{6}$）+sin（$\frac{4π}{6}$+$\frac{π}{6}$）+sin（$\frac{6π}{6}$+$\frac{π}{6}$）
+sin（$\frac{8π}{6}$+$\frac{π}{6}$）+sin（$\frac{10π}{6}$+$\frac{π}{6}$）+sin（$\frac{12π}{6}$+$\frac{π}{6}$）+sin（$\frac{14π}{6}$+$\frac{π}{6}$）+…
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$-1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+1+…=0．
故选：D．

点评 本题考查函数的图象与函数的解析式的求法，考查函数的图象的应用，考查计算能力．