Question

5．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=1：1：$\sqrt{2}$，且△ABC的面积为$\frac{1}{2}$，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$的值是-2．

Answer 1

分析 由条件利用正弦定理求得△ABC为等腰直角三角形，由△ABC的面积为$\frac{1}{2}$，求得三角形的各个边长，再利用两个向量的数量积的定义求得要求式子的值．

解答 解：在△ABC中，∵sinA：sinB：sinC=1：1：$\sqrt{2}$，利用正弦定理可得a：b：c=1：1：$\sqrt{2}$，
设a=b=k，则c=$\sqrt{2}$k，∴△ABC为等腰直角三角形，A=B=$\frac{π}{4}$，C=$\frac{π}{2}$．
且△ABC的面积为$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$•k•k=$\frac{1}{2}$，∴k=1，
则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$=$\sqrt{2}$•1cos$\frac{3π}{4}$+0+1•$\sqrt{2}$•cos$\frac{3π}{4}$=-2，
故答案为：-2．

点评 本题主要考查正弦定理，两个向量的数量积的定义，属于中档题．