Question

17．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为短轴长的$\sqrt{3}$倍．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）设椭圆E的焦距为2$\sqrt{2}$，直线l与椭圆E交于P，Q两点，且OP⊥OQ，求证：直线l恒与圆x²+y²=$\frac{3}{4}$相切．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a=$\sqrt{3}$b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值；
（2）求得椭圆的a，b，可得椭圆方程，讨论直线的斜率不存在，设出方程x=m，代入椭圆方程求得P，Q的坐标，由仇恨值的条件，可得m，求得圆心到直线的距离可得结论；再设直线y=kx+n，代入椭圆方程，运用韦达定理，由两直线垂直的条件，可得x₁x₂+y₁y₂=0，化简整理，可得4t²=3+3k²，再求圆心到直线的距离，即可得到直线恒与圆相切．

解答 解：（1）由题意可得2a=2$\sqrt{3}$b，即a=$\sqrt{3}$b，
c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）证明：由题意可得c=$\sqrt{2}$，
由（1）可得a=$\sqrt{3}$，b=1，
椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=m，
代入椭圆方程，可得y=±$\sqrt{1-\frac{{m}^{2}}{3}}$，
由OP⊥OQ，可得m²-（1-$\frac{{m}^{2}}{3}$）=0，
解得m=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由圆心（0，0）到直线x=m的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有直线l与圆x²+y²=$\frac{3}{4}$相切；
当直线的斜率存在时，设l：y=kx+t，
代入椭圆方程x²+3y²=3，可得
（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{6kt}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{t}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²，
由题意OP⊥OQ，可得x₁x₂+y₁y₂=0，
即为（1+k²）x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=0，
即（1+k²）•$\frac{3{t}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$+kt（-$\frac{6kt}{1+3{k}^{2}}$）+t²=0，
化简可得4t²=3+3k²，
由圆心（0，0）到直线y=kx+t的距离为
d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|t|}{\sqrt{\frac{4}{3}{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即为半径．
则直线l恒与圆x²+y²=$\frac{3}{4}$相切．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的性质和离心率公式，考查直线和圆相切的条件：d=r，注意运用分类讨论的思想方法，以及直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和两直线垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．