Question

12．在等腰直角三角形ABC中，点B为直角顶点，点E，F在边BC上（E在F的左侧），且AB=3，EF=1，tan∠EAF=$\frac{1}{4}$，则线段BE长为$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．

Answer 1

分析 设BE=x，则tan∠BAE=$\frac{x}{3}$，使用两角和的正切公式计算tan∠BAF，又tan∠BAF=$\frac{x+1}{3}$，列出方程解出x．

解答 解：设BE=x，则BF=BE+EF=x+1．
则tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{x}{3}$
∴tan∠BAF=tan（∠BAE+∠EAF）=$\frac{tan∠BAE+tan∠EAF}{1-tan∠BAEtan∠EAF}$=$\frac{\frac{x}{3}+\frac{1}{4}}{1-\frac{x}{3}•\frac{1}{4}}$=$\frac{4x+3}{12-x}$．
∵tan∠BAF=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{x+1}{3}$，
∴$\frac{4x+3}{12-x}$=$\frac{x+1}{3}$．
解得x=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．

点评 本题考查了两角和的正切公式，解三角形，属于基础题．