Question

9．若y=4-$\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}$最小值为a，最大值为b，则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n}-2{b}^{n}}{3{a}^{n}-4{b}^{n}}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先求函数的定义，求出函数的最大值a和最小值b，代入求极限．

解答 解：y=4-$\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}$，定义域为[-1，3]
当x=1时，y取最小值为2，当x=3或-1时，y取最大值为4，
故a=2，b=4；
$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n}-2{b}^{n}}{3{a}^{n}-4{b}^{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{2}^{n}-2{•4}^{n}}{3•{2}^{n}-4•{4}^{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{（\frac{1}{2}）^{n}-2}{3•（\frac{1}{2}）^{n}-4}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查求函数的定义域，根据定义域求函数的最值及求极限，属于中档题．