Question

在锐角三角形ABC中，求证：cos（B-C）•cos（C-A）•cos（A-B）≥8cosA•cosB•cosC．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：解三角形

分析：由三角形中恒等式tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC，令x=2tanA+tanB+tanC，y=tanA+2tanB+tanC，z=2tanC+tanA+tanB，可得

cos(B-C)

cosA

=

2x

y+z-x

；

cos(C-A)

cosB

=

2y

z+x-y

；

cos(A-B)

cosC

=

2z

x+y-z

，可证明（x+y-z）（y+z-x）（z+x-y）≤xyz成立，即可证明cos（B-C）•cos（C-A）•cos（A-B）≥8cosA•cosB•cosC成立．

解答： 证明：在三角形中有恒等式：tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC
所以：

cos(B-C)

cosA

=

sinBsinC+cosBcosC

sinBsinC-cosBcosC

=

tanBtanC+1

tanBtanC-1

=

tanAtanBtanC+tanA

tanAtanBtanC-tanC

=

2tanA+tanB+tanC

tanB+tanC

；
同理：

cos(C-A)

cosB

=

tanA+2tanB+tanC

tanA+tanC

；

cos(A-B)

cosC

=

tanA+tanB+2tanC

tanA+tanB

，
令x=2tanA+tanB+tanC，y=tanA+2tanB+tanC，z=2tanC+tanA+tanB，
则：

cos(B-C)

cosA

=

2x

y+z-x

；

cos(C-A)

cosB

=

2y

z+x-y

；

cos(A-B)

cosC

=

2z

x+y-z

，
于是：

cos(A-B)•cos(B-C)•cos(C-A)

cosA•cosB•cosC

=

8xyz

(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)

，
因为：x+y-z＞0，y+z-x＞0，z+x-y＞0，
所以：

(x+y-z)(y+z-x)

≤

x+y-z+y+z-x

2

-y

(y+z-x)(z+x-y)

≤

(z+x-y)(x+y-z)

≤x
以上式子相乘，有（x+y-z）（y+z-x）（z+x-y）≤xyz成立，
从而cos（B-C）•cos（C-A）•cos（A-B）≥8cosA•cosB•cosC成立．
当且仅当△ABC为正三角形时取等号．

点评：本题主要考察了三角函数恒等式的证明，考察了不等式的解法，利用结论tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC是解题的关键，考查了转化思想，综合性强，难度较大．