Question

函数f（x）=x+

a

x

，（a＞0）的极值点的个数是             （　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：求出导函数f′（x），令f′（x）=0，解得方程的根，判断函数f（x）在根左右的单调性，利用极值的定义，即可判断出答案．

解答：解：∵f（x）=x+

a

x

，（a＞0），
∴f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，（a＞0）
令f′（x）=0，解得x=-

a

，x=

a

，
当x＜-

a

时，f′（x）＞0，则f（x）在（-∞，-

a

）上单调递增，
当-

a

＜x＜0时，f′（x）＜0，则f（x）在（-

a

，0）上单调递减，
当0＜x＜

a

时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，

a

）上单调递减，
当x＞

a

时，f′（x）＞0，则f（x）在（

a

，+∞）上单调递增，
∴当x=-

a

时，f（x）取极大值，当x=

a

时，f（x）取极小值，
∴x=-

a

为极大值点，x=

a

为极小值点，
∴函数f（x）=x+

a

x

，（a＞0）的极值点的个数是2个．
故选C．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性．属于中档题．