Question

10．已知数列{a_n}的通项公式是a_n=2•3^n-1+（-1）ⁿ（1n2-1n3）+（-1）ⁿn1n3，求其前n项和S_n．

Answer 1

分析 通过a_n=2•3^n-1+（-1）ⁿ（1n2-1n3）+（-1）ⁿn1n3分n为奇数、偶数两种情况讨论．当n为偶数时计算可知a_n-1+a_n=2•3^n-2+2•3^n-1+1n3，进而可知S_n=2（1+3+3²+…+3^n-1）+$\frac{n}{2}$•ln3，计算即得结论；当n为奇数时利用S_n=S_n+1-a_n+1计算即得结论．

解答 解：∵a_n=2•3^n-1+（-1）ⁿ（1n2-1n3）+（-1）ⁿn1n3，
∴当n为偶数时，n-1为奇数，
∴a_n-1+a_n=[2•3^n-2-（1n2-1n3）-（n-1）1n3]+[2•3^n-1+（1n2-1n3）+n1n3]
=2•3^n-2+2•3^n-1+1n3，
∴S_n=2（1+3+3²+…+3^n-1）+$\frac{n}{2}$•ln3
=2•$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+$\frac{n}{2}$•ln3
=3ⁿ+$\frac{n}{2}$•ln3-1；
当n为奇数时，S_n=S_n+1-a_n+1
=3ⁿ⁺¹+$\frac{n+1}{2}$•ln3-1-[2•3ⁿ+（1n2-1n3）+（n+1）1n3]
=3ⁿ-$\frac{n-1}{2}$•ln3-1-ln2；
综上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{n}-\frac{n-1}{2}•ln3-1-ln2，}&{n为奇数}\\{{3}^{n}+\frac{n}{2}•ln3-1，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．