Question

5．设点M（x₁，f（x₁））和点N（x₂，g（x₂））分别是函数f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²和g（x）=x-1图象上的点，且x₁≥0，x₂＞0，若直线MN∥x轴，则M，N两点间的距离的最小值为2．

Answer 1

分析 求出导函数f′（x），根据题意可知f（x₁）=g（x₂），令h（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²+1-x（x≥0），求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为M、N两点间的最短距离．

解答 解：∵当x≥0时，f'（x）=e^x-x＞0，∴函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增．
∵点M（x₁，f（x₁））和点N（x₂，g（x₂））分别是函数f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²和g（x）=x-1图象上的点，
且x₁≥0，x₂＞0，若直线MN∥x轴，则f（x₁）=g（x₂），即${e}^{{x}_{1}}-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}$=x₂-1，
则M，N两点间的距离为x₂-x₁=${e}^{{x}_{1}}-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}$+1-x₁．
令h（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²+1-x，x≥0，则h′（x）=e^x-x-1，h″（x）=e^x-1≥0，
故h′（x）在[0，+∞）上单调递增，故h′（x）=e^x-x-1≥h′（0）=0，
故h（x）在[0，+∞）上单调递增，故h（x）的最小值为h（0）=1-0+1-0=2，
即M，N两点间的距离的最小值为2，
故答案为2．

点评 本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．