Question

17．探究函数f（x）=2x+$\frac{8}{x}$，x∈（0，+∞）最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	17	10	8.34	8.1	8.01	8	8.01	8.04	8.08	8.6	10	11.6	15.14	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f（x）=2x+$\frac{8}{x}$（x＞0）在区间（0，2）上递减；函数f（x）=2x+$\frac{8}{x}$（x＞0）在区间（2，+∞）上递增．当x=2时，y_最小=8．
（2）证明：函数f（x）=2x+$\frac{8}{x}$（x＞0）在区间（0，2）递减．
（3）思考：函数f（x）=2x+$\frac{8}{x}$（x＜0）时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

Answer 1

分析 （1）根据表格可求得函数的单调区间，根据单调性可求得最小值；
（2）利用单调性的定义可作出证明；
（3）根据奇函数的性质可作出回答．

解答 解：（1）f（x）在（2，+∞）递增；当x=2时，y取得最小值8．
故答案为：（2，+∞），2，8．
（2）证明：设x₁，x₂是区间（0，2）上的任意两个数，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=2x₁+$\frac{8}{{x}_{1}}$-（2x₂+$\frac{8}{{x}_{2}}$）=2（x₁-x₂）+8（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=2（x₁-x₂）（1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$）=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-4）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
由x₁＜x₂，可知x₁-x₂＜0，
又x₁，x₂∈（0，2），可知0＜x₁x₂＜4，即x₁x₂-4＜0，则f（x₁）-f（x₂）＞0，
故函数f（x）=2x+$\frac{8}{x}$（x＞0）在区间（0，2）递减；
（3）函数f（x）=2x+$\frac{8}{x}$在（-∞，0）时，当x=-2时，有最大值-8．

点评 本题考查函数单调性的性质及其证明，同时考查奇函数的性质：最值相反，属基础题．