Question

10．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，猜想这个数列的通项公式是${a}_{n}={2}^{n}-1$．

Answer 1

分析 推导出{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出这个数列的通项公式．

解答 解：∵在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），即$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}=2$，
∵a₁+1=2，∴{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴${a}_{n}+1=2×{2}^{n-1}={2}^{n}$，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$．
故答案为：${a}_{n}={2}^{n}-1$．

点评 本查题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列、构造法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．