Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；

（3）证明：

Answer 1

【答案】（1）当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数．；（2）；（3）证明详见解析.

【解析】

试题（1）函数的定义域为，分和两种情况分类讨论，即可求解函数的单调性；（2）由（1）知时，不成立，故，又由（1）知的最大值为，只需即可，即可求解；（3）由（2）知，当时，有在恒成立，且在上是减函数，进而，则，即，即可证明结论.

试题解析：（1） 函数的定义域为，

当时，在上是增函数，

当时，若时，有，

若时，有，则在上是增函数，在上是减函数.

（2）由（1）知时，在上是增函数，而不成立，故，又由（1）知的最大值为，要使恒成立，则即可，

即，得.

（3）由（2）知，当时，有在恒成立，且在上是减函数，

，即，在上恒成立，令，则，

即，从而

得证.