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    【题目】平面上有奇数条线段，甲乙两人做如下游戏：两人轮流（甲先乙后）给任一条尚未设定方向的线段设定一个方向，直至某次（甲）设定后，所有线段各有了一个方向为止.如果最后得到的所有向量之和的模长不小于原来每条线段长，则甲获胜，否则乙获胜.问：谁有必胜策略？证明你的结论.

    【答案】甲有必胜策略.

    【解析】

    若只有1条线段，显然，甲获胜.

    下面设线段总条数为，不妨设在所给线段中，最长.

    设在上的投影长度为，不妨设，.

    甲可采取如下策略取胜：

    首先，任给线段设一个方向，并把余下线段配成组，以后，乙每设定一条线段的方向，甲就设定同一组另一条线段的方向，并保证对于，与反向；与同向.

    于是，最后得到的所有向量之和在上的投影长或其相反数为

    .

    故为投影长（而非相反数）且.

    于是，最后所有向量之和的模长大于或等于，进而，大于或等于原来每条线段长.

    因此，甲将获胜.

    练习册系列答案
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    微信控

    非微信控

    合计

    男性

    26

    24

    50

    女性

    30

    20

    50

    合计

    56

    44

    100

    （1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？

    （2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；

    （3）从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率.

    参考公式: ，其中.

    参考数据：

    0.50

    0.40

    0.25

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.455

    0.708

    1.323

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

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    【题目】已知函数.

    （1）求函数的单调区间；

    （2）若恒成立，试确定实数的取值范围；

    （3）证明：

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    【题目】某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知，，，曲线段是以点为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在、上，且一个顶点落在曲线段上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到）．

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    【题目】有2012位学者参加某数学会议，他们中有些人相互认识，且满足：

    （1）每个人至少认识其中的671个人；

    （2）对于其中任意两个人、，若、相互不认识，则总可以通过其他人间接认识，即存在，使得认识，认识，认识；

    （3）不可以将2012位学者排成一排，使得相邻的两个人相互认识.

    证明：可以将2012位学者分成两组，其中一组能够排成一圈，使得相邻的人相互认识，另一组任何两个人不认识.

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    【题目】设函数，

    （1）当时，求的单调区间；

    （2）①证明：当时，函数在上恰有一个极值点；

    ②求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立.

    注：为自然对数的底数.

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    【题目】为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了数学英语两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示：

    组别

    性别

    数学

    英语

    男

    5

    1

    女

    3

    3

    现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从两组中共抽取3名同学进行测试.

    （1）求从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；

    （2）记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.

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