Question

【题目】设函数，

（1）当时，求的单调区间；

（2）①证明：当时，函数在上恰有一个极值点；

②求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立.

注：为自然对数的底数.

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）①证明见解析；②.

【解析】

（1）求导后，由得递增区间，由得递减区间；

（2）①求导两次后，利用零点存在性定理和极值点的概念可证结论；②当时，根据单调性可知不合题意，当时，利用①的结论，可知在上的最大值为，再将恒成立转化为最大值即可解决.

（1）当时，，，

由，得，由，得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）①证明：当时，，

令，则，

因为，所以，

当时，，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因为，，

根据零点存在性定理可知，函数在上有唯一实根，设为，则，

所以当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，

所以当时，函数在上恰有一个极值点.

②当时，，由①知在上恒成立，

所以在上为增函数，所以，

所以在上递增，所以恒成立， 不合题意，

当时，由①知，函数在上递减，在上递增，

设函数在上的最大值为，则，

若对任意的，恒有成立.

则，因为，所以由得，

得，得，得，

因为，所以.