Question

【题目】如图，在四棱锥中，且和分别是棱和的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先证明四边形为矩形，得到，然后又可证得平面，再根据得到平面，于是，进而得到，所以有平面，于是可得所证结论成立．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，根据题中条件得到相关点的坐标，求出平面的法向量和直线的方向向量，根据两向量夹角的余弦值可求出线面角的正弦值．

（Ⅰ）∵为中点，，

∴．

又，

∴四边形为平行四边形．

∵为中点，

∴，

∴四边形为矩形，

∴．

由得，

又，

∴平面．

∵，

∴平面．

又平面，

∴．

∵，

∴．

又，

∴平面．

∵平面，

∴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面．

以为原点，为轴，为轴，平面内过点且与的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图所示．

∵，

∴．

又，

∴．

∴点到轴的距离为．

∴同时知．

又，

∴．

∴．

设平面的一个法向量为，

由得

令则．

又，

设直线与平面所成的角为.

则．

即直线与平面所成的角的正弦值为．